Câncer e Matemática?

O câncer é uma das causas que mais têm levado entes queridos embora. A doença tem atingido milhões de pessoas nos últimos tempos, em taxas cada vez maiores. Mas o que tem haver o câncer com a matemática? 

A verdade é que pesquisadores utilizam modelos matemáticos para estudo de tumores. Uma visualização possível de tumores é descrita pela equação $\rho = 1 + \frac{1}{5}\sin{\left(m\theta\right)}\sin{\left(n\phi\right)}$. Essa equação descreve uma família de superfícies chamadas de "esferas rugosas". Abaixo é possível ver uma figura plotada utilizando uma ferramenta gráfica computacional para os valores $m=6$ e $n=5$. 

As cores não representam nada em particular, e são apenas um mapa de cor utilizado pelo programa dependendo dos valores resultantes da função. Bem interessante, não? 

Outra abordagem ultilizando matemática é a equação de Gompertz, que tem sido utilizada para descrever e modelar matematicamente o crescimento/evolução de células tumorais. Seja $V(t)$ o volume do tumor no tempo $t$, a equação de Gompertz é 

$$\frac{dV(t)}{dt}=\lambda e^{-\alpha t} V(t)$$  

Em termos mais linguísticos, a equação de Gompertz propõe que a taxa de crescimento de uma célula tumoral é proporcional a uma exponencial no tempo. Aqui, $\lambda$ e $\alpha$ são constantes adequadas ao estudo. Podemos resolver essa equação diferencial de forma simples. Separando as variáveis, temos 

$$\frac{dV}{V} = \lambda e^{-\alpha t} dt$$  

Integrando os dois lados da última equação, obtemos 

$$\int{\frac{dV}{V}} = \int{\lambda e^{-\alpha t} dt}$$

Reorganizando os termos, resulta em 

$$\int{\frac{dV}{V}} = \lambda \int{e^{-\alpha t} dt}$$  

Como resultado da integração temos: 

$$\ln{|V|} = -\lambda \frac{e^{-\alpha t }}{\alpha} + C$$  

onde C é uma constante, resultante do processo de integração. Isolando a variável de interesse, ou seja, o volume como função do tempo, e assumindo somente valores positivos, resulta em 

$$V(t) = \exp{ \left(-\lambda \frac{e^{-\alpha t }}{\alpha} + C \right)} = \exp{\left(-\lambda \frac{e^{-\alpha t }}{\alpha}\right)} \exp{\left(C\right)}$$  

Podemos fazer $e^C$ uma nova constante $C_2$ sem perda de generalidade, e dessa forma, ficamos com:

$$V(t)=C_2\exp{\left(-\lambda \frac{e^{-\alpha t }}{\alpha}\right)}$$  

Considerando que no início, o volume da célula tumoral é $V_o$, temos a condição inicial $V(0) = V_o$. Então, para resolvermos esse problema de valor inicial, temos 

$$V_o = C_2\exp{\left(-\lambda \frac{1}{\alpha}\right)}$$  

Podemos, então, finalmente determinar a constante $C_2$, como sendo $C_2 = V_o \exp{\left(\frac{\lambda}{\alpha}\right)}$. Dessa forma, uma solução da equação de Gompertz, considerando o problema de valor inicial, é então 

$$V(t) = V_o \exp{\left[\frac{\lambda}{\alpha}\left(1-e^{-\alpha t} \right)\right]}$$  

Esse modelo de crescimento leva em conta o fato de que quando o oxigênio e os nutrientes estão escassos no núcleo do tumor, então sua expansão é prejudicada. O valor final do volume do tumor pode ser encontrado como sendo o limite 

$$\lim_{t\rightarrow \infty}{V(t)} = \lim_{t\rightarrow \infty}{V_o \exp{\left[\frac{\lambda}{\alpha}\left(1-e^{-\alpha t} \right)\right]}}$$  

Dessa forma, podemos dizer que quando o tempo se torna grande, infelizmente o tumor consome os recursos de vida do hospedeiro, e tende a se estagnar no tamanho final, sendo este $V(t\rightarrow \infty) = V_o \exp{\left(\frac{\lambda}{\alpha}\right)}$. A figura abaixo mostra essa função para um tumor específico em ratos, com $\lambda = 2.5$ dias, $\alpha = 0.1$ dias e $V_o = 25mm^3$.

É possível ver na figura acima que nos primeiros momentos, o crescimento do tumor é mais lento, até que alcança um crescimento praticamente linear mas bastante agressivo. Após uma certa quantidade de tempo (cerca de 70 dias para o caso desse rato), o tumor tem seus recursos reduzidos e seu volume começa a ficar estagnado. 

Essa curva mostra a importância de se tomar cuidados quando o assunto é a saúde. É de extrema relevância que sempre estejamos em dia com o nosso bem-estar e com nosso corpo, já que além da matemática comprovar isso, experiências vividas por muitos confirmam quão destrutivas podem ser essas células representadas aqui.