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O que é mais rápido? Subir ou descer?

Suponha que uma bola de massa m seja lançada verticalmente para cima. Se desconsiderássemos a resistência do ar, teríamos que o tempo de subida seria exatamente igual ao tempo de descida, como já bem sabemos dos estudos básicos de cinemática do ensino médio. Mas e se a resistência for levada em conta, isso muda? Faça sua aposta! 


Se considerarmos que a resistência do ar possa ser modelada como um fator proporcional à velocidade, ou seja, a força de resistência do ar seja de f_v = -bv , então podemos escrever a equação diferencial de acordo com a lei de Newton, da seguinte forma: 
m\frac{dv}{dt} = -mg-bv  
Perceba que essa mesma equação é válida para o movimento de subida e descida. A fim de determinarmos a velocidade, que é a função que precisamos descobrir dada a equação diferencial anterior, resolvemos a equação diferencial 
\frac{dv}{dt} +\frac{b}{m}v = -g  
A solução dessa equação é dada pela soma de duas soluções: a particular e a homogênea. A Homogênea é a solução da equação diferencial anterior simplesmente quando g = 0. Dessa forma, encontramos a solução primeiramente de 
\frac{dv}{dt} +\frac{b}{m}v = 0  
A solução característica para essa equação é v_h(t) = ke^{rt} , onde r = -\frac{b}{m} . A soluação particular, já que a equação diferencial possui um termo constante como não homogêneo, pode ser escolhida como v_p(t) = A, onde A é uma constante qualquer a ser determinada. Colocando v_p(t) na equação original, obtermos para A a relação: 
A = -\frac{mg}{b}  
Dessa forma, a solução completa da equação diferencial é dada por v(t) = v_h(t)+v_p(t) , que devido às nossas soluções anteriores resultam em 
v(t) = ke^{-{bt}/{m}}-\frac{mg}{b}  
Suponha que a bola seja lançada com velocidade inicial v(0) = v_o. Então, podemos encontrar a constante k fazendo t=0 na solução geral obtida, o que acaba por resultar em 
k = v_o + \frac{mg}{b}  
Dessa forma, a solução para esse problema de valor inicial será 
v(t) = \left(v_o + \frac{mg}{b}\right)e^{-{bt}/{m}}-\frac{mg}{b}   
A fim de encontrarmos a função que descreve a posição da bola no tempo t, integramos a função velocidade recém obtida. Dessa forma, 
y(t) = \int{v(t)dt} = \int{\left[\left(v_o + \frac{mg}{b}\right)e^{-{bt}/{m}}-\frac{mg}{b}\right]dt}  
Essa integração resulta na função y(t) a seguir, onde foi usada a condição inicial y(0) = 0 para determinar a constante resultante do processo de antiderivação: 
y(t) = \left(v_o+\frac{mg}{b}\right)\frac{m}{b}\left(1-e^{-bt/m}\right)-\frac{mg}{b}t  
O TEMPO DE SUBIDA
É simples determinar o tempo de subida. Basta encontrar o máximo da função posição, ou ainda, encontrar o ponto em que a velocidade é nula, afinal, no ponto onde a bola atinge sua altura máxima, é o ponto onde não tem mais velocidade vertical. Dessa forma, fazendo a velocidade igual a zero, obtemos 
t_s = \frac{m}{b}\ln{\left(\frac{mg+bv_o}{mg}\right)}  
Para uma bola com massa m = 1kg, v_o = 20m/s e o coeficiente b = 0.1v, o tempo de subida é t_s = 0.8125s. A posição em função do tempo está mostrada na figura a seguir. 

Perceba que somente pela forma da curva acima já é possível visualizar qual etapa do movimento demora mais. 

O TEMPO DE DESCIDA 

Encontrar o tempo t_2 envolve fazer y=0 na equação da posição, o que leva a resolução de uma equação não-linear. Métodos computacionais/numéricos retornam o valor de t = 2.5230942s como a raiz da função posição (além do zero). Dessa forma, o tempo de descida é igual a t_d = 1.71s
Se você acertou, parabéns! Sua intuição está ótima. Se não, agora você já sabe qual demora mais, à luz da matemática e das leis da física para o movimento!  

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