O que é mais rápido? Subir ou descer?

Suponha que uma bola de massa $m$ seja lançada verticalmente para cima. Se desconsiderássemos a resistência do ar, teríamos que o tempo de subida seria exatamente igual ao tempo de descida, como já bem sabemos dos estudos básicos de cinemática do ensino médio. Mas e se a resistência for levada em conta, isso muda? Faça sua aposta! 

Se considerarmos que a resistência do ar possa ser modelada como um fator proporcional à velocidade, ou seja, a força de resistência do ar seja de $f_v = -bv $, então podemos escrever a equação diferencial de acordo com a lei de Newton, da seguinte forma: 

$$ m\frac{dv}{dt} = -mg-bv $$ 

Perceba que essa mesma equação é válida para o movimento de subida e descida. A fim de determinarmos a velocidade, que é a função que precisamos descobrir dada a equação diferencial anterior, resolvemos a equação diferencial 

$$ \frac{dv}{dt} +\frac{b}{m}v = -g $$ 

A solução dessa equação é dada pela soma de duas soluções: a particular e a homogênea. A Homogênea é a solução da equação diferencial anterior simplesmente quando $g = 0$. Dessa forma, encontramos a solução primeiramente de 

$$ \frac{dv}{dt} +\frac{b}{m}v = 0 $$ 

A solução característica para essa equação é $v_h(t) = ke^{rt} $, onde $r = -\frac{b}{m} $. A soluação particular, já que a equação diferencial possui um termo constante como não homogêneo, pode ser escolhida como $v_p(t) = A$, onde $A$ é uma constante qualquer a ser determinada. Colocando $v_p(t)$ na equação original, obtermos para $A$ a relação: 

$$ A = -\frac{mg}{b} $$ 

Dessa forma, a solução completa da equação diferencial é dada por $v(t) = v_h(t)+v_p(t) $, que devido às nossas soluções anteriores resultam em 

$$ v(t) = ke^{-{bt}/{m}}-\frac{mg}{b} $$ 

Suponha que a bola seja lançada com velocidade inicial $v(0) = v_o$. Então, podemos encontrar a constante $k$ fazendo $t=0$ na solução geral obtida, o que acaba por resultar em 

$$ k = v_o + \frac{mg}{b} $$ 

Dessa forma, a solução para esse problema de valor inicial será 

$$v(t) = \left(v_o + \frac{mg}{b}\right)e^{-{bt}/{m}}-\frac{mg}{b} $$  

A fim de encontrarmos a função que descreve a posição da bola no tempo $t$, integramos a função velocidade recém obtida. Dessa forma, 

$$ y(t) = \int{v(t)dt} = \int{\left[\left(v_o + \frac{mg}{b}\right)e^{-{bt}/{m}}-\frac{mg}{b}\right]dt} $$ 

Essa integração resulta na função $y(t)$ a seguir, onde foi usada a condição inicial $y(0) = 0$ para determinar a constante resultante do processo de antiderivação: 

$$ y(t) = \left(v_o+\frac{mg}{b}\right)\frac{m}{b}\left(1-e^{-bt/m}\right)-\frac{mg}{b}t $$ 

O TEMPO DE SUBIDA

É simples determinar o tempo de subida. Basta encontrar o máximo da função posição, ou ainda, encontrar o ponto em que a velocidade é nula, afinal, no ponto onde a bola atinge sua altura máxima, é o ponto onde não tem mais velocidade vertical. Dessa forma, fazendo a velocidade igual a zero, obtemos 

$$ t_s = \frac{m}{b}\ln{\left(\frac{mg+bv_o}{mg}\right)} $$ 

Para uma bola com massa $m = 1kg$, $v_o = 20m/s$ e o coeficiente $b = 0.1v$, o tempo de subida é $t_s = 0.8125s$. A posição em função do tempo está mostrada na figura a seguir. 

Perceba que somente pela forma da curva acima já é possível visualizar qual etapa do movimento demora mais. 

O TEMPO DE DESCIDA 

Encontrar o tempo $t_2$ envolve fazer $y=0$ na equação da posição, o que leva a resolução de uma equação não-linear. Métodos computacionais/numéricos retornam o valor de $t = 2.5230942s$ como a raiz da função posição (além do zero). Dessa forma, o tempo de descida é igual a $t_d = 1.71s$. 

Se você acertou, parabéns! Sua intuição está ótima. Se não, agora você já sabe qual demora mais, à luz da matemática e das leis da física para o movimento!