A integral da Função $sinc{(x)}$

Talvez você já tenha visto ou ouvido falar da função seno cardinal ou seno por argumento, ou talvez nem saiba que isso exista. Mas agora, se não sabia, vai saber. A função seno cardinal é definida como $$sinc{(x)}=\frac{ {sin{(x)}}}{x}$$ O gráfico dessa função é mostrado na figura 1. 

Figura1: A função seno cardinal

Como você pode imaginar, a função $sinc{(x)}$ tende a zero conforme $x\rightarrow\infty$. No entanto, conforme $x\rightarrow0$, a função seno cardinal possui uma propriedade interessante. Na verdade, o limite da função seno cardinal quando $x\rightarrow0$ é um limite fundamental na matemática, representado por $$\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { \sin { (x) }  }{ x }  } =1$$ Como se pode ver no gráfico, a função tem um "pico" no ponto zero, e esse é o maior valor para a função seno cardinal. Os lóbulos restantes possuem sempre valores menores, e esse decaimento é "ditado" pela função $f(x)=\frac{ {1}}{x}$. Essa função representa um papel importante no estudo de sinais de comunicação por exemplo, e também na área óptica da física quando se refere a difração. A intensidade dos padrões das franjas de interferência de Fraunhofer são ditados por uma função que envolve a seno cardinal em seu núcleo. Em uma difração por fenda simples, por exemplo é possível perceber um padrão como esse:

Padrão de difração em fenda simples para quatro comprimentos de onda

As intensidades dessas franjas de interferência são previstas pela equação $$I={ I }_{ 0 }{ \left( \frac { \sin { \beta  }  }{ \beta  }  \right)  }^{ 2 }$$ onde $\beta =\frac { \pi D\sin { \theta  }  }{ \lambda  }$ é uma variável dependente da geometria da difração, enquanto $I_{0}$ é a intensidade do lóbulo principal. O gráfico da equação para intensidade é mostrado a seguir, em vermelho:

Sendo assim, dá para ver um pouquinho como essa função desempenha papel importante em sistemas do nosso dia a dia. Mas e como calcular a integral dessa função? Calcular a integral $$\int{sinc{(x)}dx}$$ não é uma tarefa trivial. Na verdade, essa integral é especial e definida como Seno integral, da seguinte forma: $$Si =\int{sinc{(x)}dx}=\int{\frac {\sin{(x)} }{x}dx}$$ Uma integral comum envolvendo a função seno cardinal é $$\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac {\sin{(x)}}{x}dx}$$ Essa integral pode ser rapidamente calculada utilizando-se de um teorema da Análise complexa, que se chama teorema dos resíduos para integrais, aplicado ao cálculo de integrais impróprias, relacionado ao chamado valor principal de Cauchy de uma integral imprópria. Se a função integranda possui apenas pólos (ou seja, as raízes do denominador) reais, então a integral imprópria  $$\int_{-\infty}^{+\infty}{f(z)dz}=j\pi\sum_{k=0}^{n}{Res(f(z),z_{k})}$$ onde $Res(f(z),z_{k})$ é o resíduo da função $f(z)$ aplicada nos pólos reais $z_{1}, z_{2}, ..., z_{n}$. O resíduo de uma função $f(z)$ é igual ao coeficiente $a_{-1}$ da representação em série de Laurent para $f(z)$. $f(z)$ pode ser representada por uma série de Laurent como $$f(z)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}{a_{k}{(z-z_{0})}^{k}}=...+\frac{ {a}_{-2}}{(z-z_{0})^{2}}+\frac{ {a}_{-1}}{(z-z_{0})}+{a}_{0}+{a}_{1}{(z-z_{0})}+...$$ se $f$ é analítica em um domínio anular $D$ definido por $r<\left| z-{ z }_{ 0 } \right| <R$, onde $z_{0}$ é uma singularidade ou polo de $f(z)$, e $$a_{k}=\frac{ {1}}{j2\pi}\oint_{C}{\frac{ {f(s)}}{(s-z_{0})^{k+1}}ds}, k=0,\pm1, \pm2, ...$$ onde $C$ é uma curva fechada simples que se estende inteiramente em $D$ e contém $z_{0}$ em seu interior. Para um pólo simples ${z}_{0}$, ou seja, uma raiz do denominador de $f(z)$ que aparece uma única vez e/ou tem multiplicidade 1, o resíduo da função nesse pólo pode ser calculado pelo limite $$\lim_{x\rightarrow0}{(z-{z}_{0})f(z)}$$ Assim sendo, vamos agora iniciar o cálculo da nossa integral imprópria de interesse. Relembrando a relação de Euler que ${e}^{jx}=cos{x}+jsin{x}$, podemos generalizar a integral para $$\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{ {{e}^{jx}}}{x}dx}=\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{ {cos{x}}}{x}dx}+j\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{ {sin{x}}}{x}dx}$$ Calculando o resíduo da função ${e}^{jx}$ na sigularidade $x=0$, temos $$\lim_{x\rightarrow 0}{(x-0)\frac{ {{e}^{jx}}}{x}}=1$$ Dessa forma, $$\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{ {{e}^{jx}}}{x}dx}=j\pi$$ Comparando as partes real e imaginária dessa integral, temos $$\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{ {cos{x}}}{x}dx}+j\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{ {sin{x}}}{x}dx}=j\pi$$ o que resulta, claramente em $$\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{ {cos{x}}}{x}dx}=0$$ e $$\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{ {sin{x}}}{x}dx}=\pi$$ e obviamente, $$\int_{-\infty}^{+\infty}{sinc(x)dx}=\pi$$

Se desejar calcular "analiticamente" essa integral, você pode representar $sinc(x)$ como uma série de potências e integrar termo a termo. A representação em série ficaria $$sinc(x)=\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { { { \left( -1 \right)  }^{ n }x }^{ 2n } }{ \left( 2n+1 \right) ! }  }$$ Basta então integrar essa função $$\int{\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { { { \left( -1 \right)  }^{ n }x }^{ 2n } }{ \left( 2n+1 \right) ! }  }dx}$$ Aproveite essas dicas para avaliar integrais impróprias e trigonométricas. É possível também resolver essa integral por trasnformada de Fourier, e posteriormente esse mesmo problema será revisitado utilizando esse método, após ele ter sido apresentado aqui no blog. Até a próxima. 

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