A Trajetória da Bolinha

Já percebeu que quando você joga algo no ar, esse algo descreve uma curva bem característica? Não é um quadrado, nem mesmo um triângulo com uma ponta. Mas a verdade é que sempre essa forma característica estará lá! Em todo lugar que houver gravidade, e um lançamento oblíquo seja feito, então você terá esse desenho bem em cima de você. Mas afinal, de onde vem tudo isso? Da física, é claro, da cinemática, que trata dos movimentos dos corpos para ser mais específico, Aqui, faremos um tratamento sem atrito, para simplificar a matemática envolvida no processo. 

Começando a nossa descoberta, suponha que você esteja lançando uma bolinha com velocidade inicial $v_{0}$, fazendo um ângulo $\phi$ com a horizontal (eixo $x$). 

Sendo assim, podemos decompor a velocidade nas direções $x$ e $y$ a fim de analisarmos os dois eixos cartesianos. Fazendo essa decomposição vetorial, é fácil ver que $v_{x}=v_{0}\cos{\phi}$ enquanto, para o eixo das ordenadas, $v_{y}=v_{0}\sin{\phi}$. 

Para o movimento em $x$, lembramos da equação básica da cinemática para a velocidade $$x=v_{x}t$$ Já em $y$, temos a equação horária do movimento $$y = v_{y}t-\frac{g}{2}t^{2}$$ Aqui, $g$ representa a aceleração da gravidade, e a mesma é negativa por conta de estar direcionada em sentido inverso ao eixo $y$. Como o tempo é comum nas equações dos dois eixos, vamos isolar a variável $t$ na primeira das equações. É possível ver que, como $v_{x}=v_{0}\cos{\phi}$, então $x=t(v_{0}\cos{\phi})$. Isolando a variável de interesse nessa equação, temos, então: $$t=\frac{x}{v_{0}\cos{\phi}}$$  

Substituindo essa variável na equação do movimento em $y$ e também a velocidade em $y$, temos: $$y=v_{0}\sin{\phi}\left(\frac{x}{v_{0}\cos{\phi}}\right)-\frac{g}{2}\left(\frac{x}{v_{0}\cos{\phi}}\right)^{2}$$

Sendo assim, a expressão anterior se simplifica a $$y=x\tan{\phi}-\frac{g{x}^{2}}{2v_{0}^2\cos^{2}{\phi}}$$ e essa equação resultante é claramente a equação que estávamos procurando. Costumamos chamá-la de equação da trajetória, e ela descreve exatamente uma parábola para os parâmetros $\phi$, $v_{0}$, e $g$. 

Bom, agora você já sabe que toda vez que jogar algo no ar, contra a gravidade, a trajetória vai ser exatamente uma parábola, como a da figura abaixo

Imagens da Nasa: Lançamento da missão Pathfinder para Marte em 4 de dezembro de 1996

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