A Rapidinha!

Você já esteve atrasado algum dia? Quem nunca, não é mesmo? Já pensou o quão rápido poderia andar, talvez como um avião, um foguete, um trem bala... mas, e que tal a luz? É, a luz é simplesmente a mais veloz de todo o cosmos, nada supera essa velocidade extraordinária. A velocidade da luz é de caráter absoluto e é uma constante fundamental na física. Mas de onde vem toda essa velocidade?

Hans Chrsitian Oersted

Michael Farday

Tudo começa muitos anos atrás, com os experimentos de visionários como Michael Faraday e Hans Christian Oersted, que acabaram por descobrir a interação da eletricidade e do magnetismo. A luz é uma onda eletromagnética, ou seja, composta das duas naturezas. Mais tarde, James Clerk Maxwell deu um tratamento matemático especial para a teoria do eletromagnestismo, e essas equações que resumem a natureza eletromagnética da matéria ficaram reduzidas em equações elegantes. 

Representação de uma onda eletromagnética, composta pelo campo magnético e elétrico, perperndiculares entre si e ambos perpendiculares à direção de propagação da onda.

A primeira delas, a lei de Gauss, enuncia que uma densidade de cargas elétricas gera um campo elétrico.

 Já o que podemos chamar de Lei de Gauss para os campos magnéticos, já que essa não tem nome atribuído, mas é semelhante a anterior, diz-nos que não existem monopólos magnéticos, ou seja, não existem cargas magnéticas para gerarem campo magnético assim como cargas elétricas geram campos elétricos. São elas $$\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}$$  $$\nabla\cdot\vec{B}=0$$

A terceira equação de Maxwell é a lei de Faraday, que é matematicamente representada, na forma diferencial por $$\nabla \times \vec { E } =-\frac { \partial \vec { B }  }{ \partial t }$$ quer nos dizer que um campo magnético variável gera um campo elétrico tambem variável no tempo. A quarta e última equação de Maxwell é a lei de Ampère com correção de Maxwell (envolvendo a corrente de deslocamento), enunciando que uma densidade de corrente elétrica ou a variação de um campo elétrico resulta em campo magnético: $$\nabla\times\vec{B}={\mu}_{0}\vec{J}+{\mu}_{0}{\epsilon}_{0}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}$$ Considerando as regiões do espaço livre onde não existem densidades de cargas ou densidades de correntes, podemos reescrever as equações de Maxwell como $$\begin{matrix} \nabla \cdot \vec { E } =0 \quad (i)\quad \quad \quad \quad  & \nabla \times \vec { E } =-\frac { \partial \vec { B }  }{ \partial t } \quad (ii) \\ \nabla \cdot \vec { B } =0\quad \quad (iii)\quad \quad \quad \quad  & \nabla \times \vec { B } ={ \mu  }_{ 0 }{ \varepsilon  }_{ 0 }\frac { \partial \vec { E }  }{ \partial t } \quad (iv) \end{matrix}$$

James Clerk Maxwell

Elas representam uma série de equações diferenciais parciais de primeira ordem acopladas para $\vec{E}$ e ${B}$. Se aplicarmos o rotacional em $(iii)$ e $(iv)$, a fim de desaclopá-las temos $$\nabla\times(\nabla\times\vec{E})=\nabla(\nabla\cdot\vec{E})-{\nabla}^{2}\vec{E}=\nabla\times\left( \frac { \partial \vec { B }  }{ \partial t }  \right) (v)$$ onde é usada a propriedade da Álgebra vetorial $\nabla\times(\nabla\times\vec{A})=\nabla(\nabla\cdot\vec{A})-{\nabla}^{2}\vec{A}$. Reorganizando a derivada no tempo em $(v)$, e usando também $(i)$ e $(iv)$, podemos escrever, então, que $$-\nabla^{2}\vec{E}=-\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\vec{B})=-\mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial{t}^{2} }   $$ Dividindo a última equação por $-1$, temos, finalmente $$\nabla^{2}\vec{E}=\mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial{t}^{2}} $$

Processo semelhante pode ser feito também para o vetor $\vec{B}$, e que por sua vez, resulta em $$\nabla^{2}\vec{B}=\mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{\partial^{2}\vec{B}}{\partial{t}^{2}}$$ Dessa forma, temos duas equações separadas para $\vec{E}$ e para $\vec{B}$, mas elas são equações diferencias parciais de segunda ordem; esse é o preço a se pagar por desaclopá-las. Essas equações lembram muito a equação de onda $$\nabla^{2}f=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}f}{\partial t^{2}}$$ onde $v$ é a velocidade de propagação da onda. Sendo assim, comparando a equação de onda a qualquer uma das duas equações diferencias parciais de segunda ordem obtidas, é possível ver que cada componente cartesiana de $\vec{E}$ e $\vec{B}$ satisfaz essa equação da onda tridimensional. Sendo assim, pela comparação, é possível ver que a velocidade de propagação da onda de natureza eletromagnética é, então $$v=\frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}}$$ Essa velocidade é comumente definida como $c$. Aqui, $\varepsilon_{0}$ e $\mu_{0}$ representam, respectivamente, a permissividade elétrica do vácuo e a permeabilidade magnética do vácuo. A saber, $\varepsilon_{0}=8,854187817\times{10}^{-12}F/m$ e $\mu_{0}=4\pi\times{10}^{-7}T\cdot m/A$. Sendo assim, temos a velocidade da luz $$c=\frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}}=299 792 458 m/s$$ E essa é uma mega velocidade. Em um segundo, é possível dar aproximadamente 7 voltas e meia em torno da terra, considerando que o comprimento da linha do equador (seu perímetro) é $40.075km$, o que corresponde a um raio de aproximadamente $6.378km$. Que velocidade hem! 

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