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Destaques

O que é mais rápido? Subir ou descer?

Suponha que uma bola de massa m seja lançada verticalmente para cima. Se desconsiderássemos a resistência do ar, teríamos que o tempo de subida seria exatamente igual ao tempo de descida, como já bem sabemos dos estudos básicos de cinemática do ensino médio. Mas e se a resistência for levada em conta, isso muda? Faça sua aposta!  Se considerarmos que a resistência do ar possa ser modelada como um fator proporcional à velocidade, ou seja, a força de resistência do ar seja de f_v = -bv , então podemos escrever a equação diferencial de acordo com a lei de Newton, da seguinte forma:  m\frac{dv}{dt} = -mg-bv   Perceba que essa mesma equação é válida para o movimento de subida e descida. A fim de determinarmos a velocidade, que é a função que precisamos descobrir dada a equação diferencial anterior, resolvemos a equação diferencial  \frac{dv}{dt} +\frac{b}{m}v = -g   A solução dessa equação é dada pela soma de duas soluções: a particular...

A Rapidinha!

Você já esteve atrasado algum dia? Quem nunca, não é mesmo? Já pensou o quão rápido poderia andar, talvez como um avião, um foguete, um trem bala... mas, e que tal a luz? É, a luz é simplesmente a mais veloz de todo o cosmos, nada supera essa velocidade extraordinária. A velocidade da luz é de caráter absoluto e é uma constante fundamental na física. Mas de onde vem toda essa velocidade?


Hans Chrsitian Oersted


Michael Farday

Tudo começa muitos anos atrás, com os experimentos de visionários como Michael Faraday e Hans Christian Oersted, que acabaram por descobrir a interação da eletricidade e do magnetismo. A luz é uma onda eletromagnética, ou seja, composta das duas naturezas. Mais tarde, James Clerk Maxwell deu um tratamento matemático especial para a teoria do eletromagnestismo, e essas equações que resumem a natureza eletromagnética da matéria ficaram reduzidas em equações elegantes. 


Representação de uma onda eletromagnética, composta pelo campo magnético e elétrico, perperndiculares entre si e ambos perpendiculares à direção de propagação da onda.


A primeira delas, a lei de Gauss, enuncia que uma densidade de cargas elétricas gera um campo elétrico.
 Já o que podemos chamar de Lei de Gauss para os campos magnéticos, já que essa não tem nome atribuído, mas é semelhante a anterior, diz-nos que não existem monopólos magnéticos, ou seja, não existem cargas magnéticas para gerarem campo magnético assim como cargas elétricas geram campos elétricos. São elas \nabla\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}  \nabla\cdot\vec{B}=0

A terceira equação de Maxwell é a lei de Faraday, que é matematicamente representada, na forma diferencial por \nabla \times \vec { E } =-\frac { \partial \vec { B }  }{ \partial t } quer nos dizer que um campo magnético variável gera um campo elétrico tambem variável no tempo. A quarta e última equação de Maxwell é a lei de Ampère com correção de Maxwell (envolvendo a corrente de deslocamento), enunciando que uma densidade de corrente elétrica ou a variação de um campo elétrico resulta em campo magnético: \nabla\times\vec{B}={\mu}_{0}\vec{J}+{\mu}_{0}{\epsilon}_{0}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t} Considerando as regiões do espaço livre onde não existem densidades de cargas ou densidades de correntes, podemos reescrever as equações de Maxwell como \begin{matrix} \nabla \cdot \vec { E } =0 \quad (i)\quad \quad \quad \quad  & \nabla \times \vec { E } =-\frac { \partial \vec { B }  }{ \partial t } \quad (ii) \\ \nabla \cdot \vec { B } =0\quad \quad (iii)\quad \quad \quad \quad  & \nabla \times \vec { B } ={ \mu  }_{ 0 }{ \varepsilon  }_{ 0 }\frac { \partial \vec { E }  }{ \partial t } \quad (iv) \end{matrix}

James Clerk Maxwell

Elas representam uma série de equações diferenciais parciais de primeira ordem acopladas para \vec{E} e {B}. Se aplicarmos o rotacional em (iii) e (iv), a fim de desaclopá-las temos \nabla\times(\nabla\times\vec{E})=\nabla(\nabla\cdot\vec{E})-{\nabla}^{2}\vec{E}=\nabla\times\left( \frac { \partial \vec { B }  }{ \partial t }  \right) (v) onde é usada a propriedade da Álgebra vetorial \nabla\times(\nabla\times\vec{A})=\nabla(\nabla\cdot\vec{A})-{\nabla}^{2}\vec{A}. Reorganizando a derivada no tempo em (v), e usando também (i) e (iv), podemos escrever, então, que -\nabla^{2}\vec{E}=-\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\vec{B})=-\mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial{t}^{2} }    Dividindo a última equação por -1, temos, finalmente \nabla^{2}\vec{E}=\mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial{t}^{2}}
Processo semelhante pode ser feito também para o vetor \vec{B}, e que por sua vez, resulta em \nabla^{2}\vec{B}=\mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{\partial^{2}\vec{B}}{\partial{t}^{2}} Dessa forma, temos duas equações separadas para \vec{E} e para \vec{B}, mas elas são equações diferencias parciais de segunda ordem; esse é o preço a se pagar por desaclopá-las. Essas equações lembram muito a equação de onda \nabla^{2}f=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}f}{\partial t^{2}} onde v é a velocidade de propagação da onda. Sendo assim, comparando a equação de onda a qualquer uma das duas equações diferencias parciais de segunda ordem obtidas, é possível ver que cada componente cartesiana de \vec{E} e \vec{B} satisfaz essa equação da onda tridimensional. Sendo assim, pela comparação, é possível ver que a velocidade de propagação da onda de natureza eletromagnética é, então v=\frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}} Essa velocidade é comumente definida como c. Aqui, \varepsilon_{0} e \mu_{0} representam, respectivamente, a permissividade elétrica do vácuo e a permeabilidade magnética do vácuo. A saber, \varepsilon_{0}=8,854187817\times{10}^{-12}F/m e \mu_{0}=4\pi\times{10}^{-7}T\cdot m/A. Sendo assim, temos a velocidade da luz c=\frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}}=299 792 458 m/s E essa é uma mega velocidade. Em um segundo, é possível dar aproximadamente 7 voltas e meia em torno da terra, considerando que o comprimento da linha do equador (seu perímetro) é 40.075km, o que corresponde a um raio de aproximadamente 6.378km. Que velocidade hem! 




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