A integral de ${e}^{x^2}$

Você já tentou calcular a integral dessa função? Parece inofensiva, não é mesmo? Porém, ao tentar os métodos comuns de abordagem, seja substituição e integração por partes (já que os outros não fazem sentido aqui), não conseguimos sair do lugar, e parece que não é possível calcular. Estranho não?

A verdade é que realmente a função ${e}^{x^2}$ não é elementar. Em outras palavras, não existe função que sua derivada seja igual a ${e}^{x^2}$. Isso resulta então em uma integral não transcendental, ou seja, a função integranda não possui antiderivada.

Mas, não é o fim. Usando-se de séries de potências, é totalmente possível calcular essa integral e aproximá-la se for uma integral definida.

A série de Maclaurin para uma função $f(x)$ é definida como: (onde $f^{n}\left(x\right)$ representa a derivada de ordem n da função $f(x)$): $$f(x)=\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { f^{ n }\left( x \right)  }{ n! }  }$$

Se a função $f(x)={e}^{x}$, então, é possível notar que a representação em série para $f(x)$ será dada por (a derivação é deixada como atividade para o leitor) $${ e }^{ x }=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { x }^{ n } }{ n! } } =1+x+\frac { x² }{ 2! } +\frac { x³ }{ 3! } +...$$

Sendo assim, é possível ver que a expansão em série para a função ${e}^{x^2}$ fica $${ e }^{ x² }=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { x }^{ 2n } }{ n! } } =1+x²+\frac { x³ }{ 2! } +\frac { { x }^{ 4 } }{ 3! } +...$$

Utilizando a integral inicial e a representação da função desenvolvida até agora, podemos escrever, então, a seguinte expressão: $$\int { { e }^{ x² }dx } =\int { \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { x }^{ 2n } }{ n! } } dx }$$

Usando a propriedade da linearidade para as integrais, podemos integrar a série de potências como se fosse uma soma infinita de integrais, o que resulta em $$\int { \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { x }^{ 2n } }{ n! } } dx }=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \int { \frac { { x }^{ 2n } }{ n! } dx } }$$

Realizando a integração do polinômio, temos, então $$\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \int { \frac { { x }^{ 2n } }{ n! } dx } } =\quad C+\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { x }^{ (2n+1) } }{ (2n+1)n! } } =C+x+\frac { x³ }{ 3\cdot 1! } +\frac { { x }^{ 5 } }{ 5\cdot 2! } +...$$ onde C é uma constante qualquer, que por meios de facilidade podemos adotar como zero. Sendo assim, é possível afirmar que a nossa integral é então $$\int { { e }^{ x² }dx } =\quad \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { x }^{ (2n+1) } }{ (2n+1)n! } } =\quad x+\frac { x³ }{ 3\cdot 1! } +\frac { { x }^{ 5 } }{ 5\cdot 2! } +...$$ Se a integral for definida num intervalo $(a,b)$, basta aplicar os extremos: $$\int_{ a }^{ b }{ { e }^{ x² }dx } =\quad { \left( \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { x }^{ (2n+1) } }{ (2n+1)n! } } \right) }_{ a }^{ b }=\quad { \left( x+\frac { x³ }{ 3\cdot 1! } +\frac { { x }^{ 5 } }{ 5\cdot 2! } +... \right) }_{ a }^{ b }$$  Como aproximação, você pode truncar os termos da série dependendo da precisão desejada. É interessante notar ainda que na série para a exponencial é possível estimar o valor de e. Se truncarmos até o termo de quinto grau, o valor resultante da série é de aproximadamente 2,718, o que concorda com o valor de $e$ até a terceira casa decimal, já que o valor de $e = 2,7182818284590452$. 
Essa mesma abordagem pode ser feita com funções semelhantes, como é o caso da função ${e}^{-x^2}$, que inclusive aparece em definições importante na matemática, como por exemplo na famosa integral gaussiana $$\int _{ -\infty  }^{ +\infty  }{ { e }^{ -x² }dx } \quad$$