A Relação de Euler

Talvez você já tenha ouvido falar de Leonhard Euler. Ele foi um grande matemático, e descobriu uma das equações mais famosas e bonitas da matemática quando já estava cego. Já pensou, que doidera né?

Leonhard Euler (1707-1783)

A famosa fórmula de Euler mistura a conhecida exponencial, as funções trigonométricas seno e cosseno e ainda o número imaginário, que é definido como a raiz de -1.

Então, vamos primeira mostrar qual é essa relação. Ela é a seguinte: $${e}^{j\theta}=cos{\theta}+jsin{\theta}$$ Aqui, ${j}=\sqrt{-1}$ é definido como o nosso número imaginário. Podemos usar a expansão em série de potências para a função $f(x)={e}^{x}$ a fim de analisarmos o resutado para o argumento dessa exponencial. Relembrando, $${e}^{j\theta}=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { (j\theta ) }^{ n } }{ n! } } =1+j\frac { \theta }{ 1! } -\frac { { \theta }^{ 2 } }{ 2! } -j\frac { {\theta}^{3} }{ 3! } +\frac { { \theta }^{ 4 } }{ 4! } +j\frac { { \theta }^{ 5 } }{ 5! } +...$$ Separando os termos que contém $j$ e os que não possuem, temos $${e}^{j\theta}=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { (j\theta ) }^{ n } }{ n! } } =\left( 1-\frac { { \theta }^{ 2 } }{ 2! } +\frac { { \theta }^{ 4 } }{ 4! } +... \right) +j\left( \frac { \theta }{ 1! } -\frac { {\theta}^{3} }{ 3! } +\frac { { \theta }^{ 5 } }{ 5! } +... \right)$$ Relembrando duas séries de potências importantes e que serão muito úteis aqui, temos as séries: $$sin{\theta}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{ {(-1)}^{n}{\theta}^{(2n+1)}}{(2n+1)!}}=\theta-\frac{ {\theta}^{3}}{3!}+\frac{ {\theta}^{5}}{5!}-...$$ e também a série $$cos{\theta}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{ {(-1)}^{n}{\theta}^{2n}}{(2n)!} } = 1-\frac{ {\theta}^{2}}{2!}+\frac{ {\theta}^{4}}{4!}-...$$ Dessa forma, percebendo que essas funções são as séries que se encontram na representação em série de ${e}^{j\theta}$, podemos escrever a relação ${e}^{j\theta}$ como $${e}^{j\theta}=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { (j\theta ) }^{ n } }{ n! } } =cos{\theta}+jsin{\theta}$$ Dessa forma, provamos de forma intuitiva a relação de Euler, que pode ser muito útil para o cálculo de integrais envolvendo as funções seno e cosseno, principalmente no que diz respeito a integrais de Fourier e coeficientes da série de Fourier.

Lembre-se dessa forma que você pode ver! E Euler não pôde, mas com certeza imaginou e ficou muito feliz...

A partir dessa relação genérica, Euler descreveu então uma fórmula extremamente elegante, envolvendo os números $1$, $\pi$, $e$, $0$ e o número imaginário $j$, ou seja, os cinco números mais famosos da matemática em uma relação simples e elegante. Se fizermos $\theta=\pi$ na relação anterior, temos que ${e}^{j\pi}=cos{\pi}+jsin{\pi}$. Como sabemos, $cos{\pi}=-1$ enquanto $sin{\pi}=0$. Dessa forma, vem que ${e}^{j\pi}=-1$. Organizando os termos, temos, finalmente, essa elegante relação: $${e}^{j\pi}+1=0$$ Aprecie com moderação!
obs: Aqui usamos $j$ como número imaginário ao invés de $i$ como geralmente é usado, porque eventualmente usamos $i$ para corrente elétrica, e em circuitos elétricos em corrente alternada, números complexos sáo usados. Então, a fim de não confundir esses índices, usamos aqui sempre $j$ como o número imaginário, tal que $j=\sqrt{-1}$.
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